Matematika klađenja
Kako se računa očekivana vrednost opklade
Očekivana vrednost (EV) je prosečan dobitak ili gubitak po uloženoj jedinici kada se ista opklada ponovi mnogo puta: EV = p × kvota − 1. Kvota 2,50 uz procenu p = 0,45 daje EV = +0,125, ali ako je stvarna verovatnoća 0,38, EV je −0,05. Zato EV vredi onoliko koliko je tačna procena p.
Sadržaj
Pojmovi
- Očekivana vrednost (EV)
- Prosečan ishod opklade po uloženoj jedinici, kada bi se ista opklada ponovila mnogo puta.
- Procena verovatnoće (p)
- Tvoja ili modelova procena koliko je ishod verovatan. Kvota je cena, a p je procena.
- Prag isplativosti
- Verovatnoća pri kojoj je EV tačno nula: 1 / kvota.
- Pozitivan EV (+EV)
- Opklada čiji je prosečan ishod veći od nule, pod uslovom da je procena p tačna.
Formula
Opklada ima dva ishoda. Sa verovatnoćom p dobija se kvota − 1 po jedinici uloga (neto), a sa verovatnoćom 1 − p gubi se ulog. Kad se to sredi, ostaje kratak oblik.
EV = p × (kvota − 1) − (1 − p)
EV = p × kvota − 10,45 × (2,50 − 1) − (1 − 0,45) = 0,675 − 0,55 = 0,125
Kvota 2,50 i procena p = 0,45 daju EV = +0,125 po jedinici, odnosno +12,5%. Na ulog od 100 to je u proseku +12,50 po opkladi, na dugom nizu istih opklada.
Prag: kada je EV nula
EV je nula kada je p × kvota = 1, odnosno p = 1 / kvota. To je ista verovatnoća iz kvote iz prethodnog vodiča. Za kvotu 2,50 prag je 0,40: opklada ima pozitivan EV samo ako je stvarna verovatnoća veća od 40%.
| p | EV po jedinici | Na ulog 100 |
|---|---|---|
| 0,35 | −0,125 | −12,50 |
| 0,38 | −0,050 | −5,00 |
| 0,40 | 0,000 | 0,00 |
| 0,42 | +0,050 | +5,00 |
| 0,45 | +0,125 | +12,50 |
| 0,50 | +0,250 | +25,00 |
Kod kvote 2,50 svaki procentni poen procene menja EV za 0,025. Greška od samo 2 poena pretvara +0,050 u nulu.
Kad je procena pogrešna
Ista kvota 2,50, ali stvarna verovatnoća je 0,38, a ne 0,45:
0,38 × 2,50 − 1 = 0,95 − 1 = −0,05
Opklada koja je na papiru imala +12,5% u stvari u proseku gubi 5% uloga. Kvota je ista, promenila se samo procena.
EV nije svojstvo kvote, nego para kvota i procena. Zato je ključno pitanje koliko su procene tačne, a to se meri Brier skorom i kalibracijom.
Zašto pozitivan EV ne znači dobitak
EV je prosek. Pojedinačna opklada se dobija ili se gubi ceo ulog, a na kratkom nizu rezultat može daleko da odstupi od proseka.
100 opklada po kvoti 2,50, kada je stvarna verovatnoća svake 0,45 (EV = +0,125 po opkladi):
- očekivan rezultat je +12,5 jedinica;
- standardna devijacija jedne opklade je oko 1,24 jedinice, a 100 opklada oko 12,4 jedinice;
- verovatnoća da je posle 100 opklada rezultat u minusu (39 ili manje pogodaka) je 13,4%;
- posle 1.000 takvih opklada ta verovatnoća pada na oko 0,06%.
Brojevi su izračunati tačno iz binomne raspodele, bez simulacije, i važe samo ako je p zaista 0,45.
EV posle marže
Kvota kladionice već sadrži maržu. Ako se kao p uzme fer verovatnoća iz iste kvote, EV je negativan za svaki ishod i iznosi 1 / zbir − 1. Za tržište iz vodiča o verovatnoći iz kvote (zbir 104,81%) to je 1 / 1,0481 − 1 = −4,59% na svaki ishod.
Pozitivan EV zato postoji samo kada je procena p bolja od tržišta. Učinak AI modela poredi procene modela sa kvotama bez marže na istim mečevima. Ne daje EV pojedinačne opklade, ali pokazuje koliko je procena pouzdana, a od nje zavisi svaki EV račun.
Ograničenja
- EV se odnosi na veliki broj istih opklada. Jedna opklada se uvek dobija ili se gubi ceo ulog.
- p je procena. Mala greška u p menja znak EV-a, a stvarna verovatnoća se nikad ne vidi direktno.
- Primeri ne uzimaju u obzir porez na dobitak, ograničenja uloga ni promenu kvote do početka meča.
- Pozitivan EV na papiru ne znači da će kvota ostati ista do trenutka uplate.