Modeli predviđanja
Poasonova raspodela u fudbalu: od proseka golova do kvote
Poasonova raspodela računa verovatnoću da tim postigne 0, 1, 2 ili više golova kada se zna njegov očekivani broj golova λ: P(k) = e^(−λ) × λ^k / k!. Očekivani golovi se dobijaju iz proseka lige, jačine napada tima i jačine odbrane protivnika. Iz verovatnoća golova oba tima sastavlja se matrica rezultata, a iz nje 1X2, više/manje golova, GG i tačan rezultat.
Sadržaj
Pojmovi
- Poasonova raspodela (Poisson)
- Raspodela broja retkih, međusobno nezavisnih događaja u datom vremenu, na primer golova jednog tima na utakmici.
- Očekivani golovi (λ, lambda)
- Prosečan broj golova koji model očekuje od tima u tom meču. Nije isto što i xG iz šuteva, iako se xG može koristiti za procenu λ.
- Jačina napada i odbrane
- Koliko tim daje ili prima golova u odnosu na prosek lige. Napad 1,20 znači 20% više golova od prosečnog tima.
- Matrica rezultata
- Tabela verovatnoća svih rezultata (0:0, 1:0, 0:1…), dobijena množenjem verovatnoća golova domaćina i gosta.
Formula Poasonove raspodele
Ako tim u proseku postiže λ golova, verovatnoća da postigne tačno k golova je:
P(k) = e^(−λ) × λ^k / k!e je Ojlerov broj (2,718…), a k! je proizvod 1 × 2 × … × k (0! = 1). Jedini ulaz je λ, pa je ceo posao u tome da se λ dobro proceni.
Kako se računaju očekivani golovi?
Najpoznatiji jednostavan postupak koristi proseke lige i jačinu timova:
λ domaćina = prosek golova domaćina u ligi × napad domaćina × odbrana gosta
λ gosta = prosek golova gosta u ligi × napad gosta × odbrana domaćinaU ligi domaćini u proseku daju 1,50 golova, a gosti 1,20.
- Domaćin kod kuće daje 1,80 golova (napad 1,80 / 1,50 = 1,20) i prima 0,90 (odbrana 0,90 / 1,20 = 0,75).
- Gost u gostima daje 1,20 golova (napad 1,00) i prima 1,65 (odbrana 1,65 / 1,50 = 1,10).
λ domaćina = 1,50 × 1,20 × 1,10 = 1,98
λ gosta = 1,20 × 1,00 × 0,75 = 0,90
Matrica rezultata
Golovi dva tima računaju se odvojeno, a verovatnoća rezultata je proizvod dve verovatnoće. Za 1:0 to je P(domaćin 1) × P(gost 0) = 27,34% × 40,66% = 11,11%.
| Domaćin / Gost | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 5,61% | 5,05% | 2,27% | 0,68% | 0,15% |
| 1 | 11,11% | 10,00% | 4,50% | 1,35% | 0,30% |
| 2 | 11,00% | 9,90% | 4,46% | 1,34% | 0,30% |
| 3 | 7,26% | 6,54% | 2,94% | 0,88% | 0,20% |
| 4 | 3,59% | 3,24% | 1,46% | 0,44% | 0,10% |
Najverovatniji pojedinačni rezultati su 1:0 (11,11%), 2:0 (11,00%), 1:1 (10,00%) i 2:1 (9,90%). I najverovatniji rezultat se, dakle, desi tek u svakom devetom meču, pa je fer kvota za tačan rezultat 1:0 čak 9,00.
Od matrice do tipova: 1X2, više/manje i GG
Tip se dobija sabiranjem polja matrice koja ga čine. Za ukupan broj golova dovoljna je jedna Poasonova raspodela sa zbirom λ = 1,98 + 0,90 = 2,88.
| Tip | Verovatnoća | Fer kvota |
|---|---|---|
| 1 (pobeda domaćina) | 62,56% | 1,60 |
| X (nerešeno) | 21,06% | 4,75 |
| 2 (pobeda gosta) | 16,38% | 6,11 |
| Više od 1,5 gola | 78,22% | 1,28 |
| Više od 2,5 gola | 54,94% | 1,82 |
| Manje od 2,5 gola | 45,06% | 2,22 |
| Više od 3,5 gola | 32,59% | 3,07 |
| GG (oba tima daju gol) | 51,15% | 1,96 |
| NG (bar jedan tim ne da gol) | 48,85% | 2,05 |
| Domaćin više od 1,5 gola | 58,86% | 1,70 |
GG je (1 − e^(−1,98)) × (1 − e^(−0,90)) = 51,15%, jer svaki tim mora dati bar jedan gol. Fer kvota je 1 / verovatnoća, kao u vodiču Verovatnoća iz kvote. Kladionica na te kvote dodaje svoju maržu.
Zašto Poasonov model greši kod 0:0 i 1:1?
Model pretpostavlja da golovi dva tima ne zavise jedan od drugog. U stvarnim podacima rezultati 0:0 i 1:1 dešavaju se nešto češće, a 1:0 i 0:1 nešto ređe nego što kaže čist Poasonov model. Dixon i Coles su 1997. predložili ispravku samo za ta četiri rezultata, sa parametrom ρ koji se procenjuje iz podataka.
Sa ρ = −0,10 i istim λ (1,98 i 0,90):
| Rezultat | Poisson | Faktor ispravke | Posle ispravke |
|---|---|---|---|
| 0:0 | 5,61% | 1,1782 | 6,61% |
| 0:1 | 5,05% | 0,8020 | 4,05% |
| 1:0 | 11,11% | 0,9100 | 10,11% |
| 1:1 | 10,00% | 1,1000 | 11,00% |
Ispravka samo premešta verovatnoću između ova četiri rezultata, pa zbir cele matrice ostaje 100%.
StatsAI koristi Poasonov model za golove po poluvremenu, nezavisno za domaćina i gosta, i iz njega izvodi kombinacije tipova. Ulazne procene za 1X2, golove 2,5 i GG/NG preuzima iz spoljnog statističkog modela, a sve prognoze se posle meča mere na strani Učinak AI modela. Više o celom postupku: Kako rade AI fudbalske prognoze.
Ograničenja
- Model pretpostavlja da su golovi dva tima nezavisni i da je λ isti tokom cele utakmice. Crveni karton, rani gol ili promena taktike to menjaju.
- λ je procena iz prošlih utakmica. Mali uzorak, promena trenera ili povrede daju pogrešan λ, a sa njim i pogrešne verovatnoće.
- Primer koristi zamišljene proseke lige i timova. Pravi modeli ih procenjuju iz hiljada mečeva i često daju veću težinu novijim.
- Fer kvota iz modela nije obećanje ishoda. Ishod sa 62,56% ne desi se u više od trećine slučajeva.
Povezani vodiči
Izvori
- Maher, M. J. (1982). Modelling association football scores. Statistica Neerlandica, 36(3), 109–118.
- Dixon, M. J., Coles, S. G. (1997). Modelling association football scores and inefficiencies in the football betting market. Applied Statistics, 46(2), 265–280.