Tétkezelés
Kelly-kritérium: a tétképlet, és miért csak egy részét játsszák
A Kelly-kritérium megmondja, a bankroll mekkora részét tedd fel, hogy hosszú távon a lehető leggyorsabban nőjön: f = (p × odds − 1) / (odds − 1). 2,50-es oddsnál és p = 0,45-ös becslésnél ez a bankroll 8,33%-a. A képlet csak akkor érvényes, ha a p helyes. Túlbecsült p mellett a javasolt tét túl nagy, a Kelly kétszerese pedig már nullára viszi a növekedést, ezért a gyakorlatban sokan fél Kellyt vagy kevesebbet játszanak.
Tartalom
Fogalmak
- Kelly-kritérium (Kelly-képlet)
- Tétszabály, amely hosszú távon a bankroll leggyorsabb növekedését adja, ha a valószínűség-becslés helyes.
- Bankroll
- A fogadásra szánt pénz. A Kelly-tét mindig az aktuális bankroll százaléka, így minden fogadás után változik.
- Tört Kelly (fél Kelly)
- A Kelly-tét egy része, például a fele. Lassabban nő, de sokkal kevésbé ingadozik, és jobban bírja a becslési hibát.
- Növekedési ráta
- A bankroll fogadásonkénti átlagos logaritmikus növekedése. Ettől függ egy hosszú sorozat tipikus eredménye.
A Kelly-kritérium képlete
f = (p × odds − 1) / (odds − 1)A számláló az egységnyi tétre jutó várható érték, a nevező az egységnyi tétre jutó nettó nyeremény, ha a fogadás bejön. Ha az EV nulla vagy negatív, az f is nulla vagy kisebb: a Kelly ilyenkor azt mondja, ne fogadj.
2,50-es odds, p = 0,45-ös becslés, 10000-es bankroll.
- EV = 0,45 × 2,50 − 1 = 0,125;
- f = 0,125 / 1,50 = 0,0833, azaz a bankroll 8,33%-a;
- tét: 833,33, fél Kelly esetén 416,67.
Nyerés után nagyobb a bankroll, így a következő tét is nagyobb. Vesztés után a tét is kisebb.
Hogyan függ a tét a becsléstől és az oddstól?
| p becslés | EV | Kelly-tét |
|---|---|---|
| 0,40 | 0,000 | 0,00% |
| 0,42 | +0,050 | 3,33% |
| 0,45 | +0,125 | 8,33% |
| 0,50 | +0,250 | 16,67% |
A Kelly-tét gyorsan nő a becsléssel. A p-ben 5 százalékpontnyi különbség (0,45 vagy 0,50) megduplázza a tétet.
| Odds | p becslés | EV | Kelly-tét |
|---|---|---|---|
| 1,50 | 0,700 | +0,05 | 10,00% |
| 2,00 | 0,525 | +0,05 | 5,00% |
| 3,00 | 0,350 | +0,05 | 2,50% |
| 5,00 | 0,210 | +0,05 | 1,25% |
Azonos EV mellett a Kelly nagyobb oddsnál kisebb tétet ad, mert az a fogadás gyakrabban veszít.
Miért játssza szinte senki a teljes Kellyt?
A Kelly csak helyes p mellett maximalizálja a növekedést. A Kellynél nagyobb tét nem gyorsabb, hanem lassabb növekedést hoz, a dupla Kelly pedig nullára viszi vissza a növekedést.
2,10-es odds, p = 0,50-es becslés (érték +5%), így a Kelly-tét 4,55%. A tipikus eredmény (medián) 1000 ilyen fogadás után, 10000-es kezdő bankrollal, ha a p valóban 0,50:
| Tét fogadásonként | Az aktuális bankroll része | Medián 1000 fogadás után |
|---|---|---|
| 1% | 1,00% | 15602 |
| 2% | 2,00% | 21801 |
| Fél Kelly | 2,27% | 23433 |
| Kelly | 4,55% | 31114 |
| Dupla Kelly | 9,09% | 10000 |
| Tripla Kelly | 13,64% | 327 |
A fél Kelly a teljes Kelly növekedési rátájának 75%-át tartja meg fele akkora téttel. A dupla Kelly egy tipikus, 1000 fogadásos sorozat végén pontosan a kiindulópontra ér vissza, a tripla Kelly pedig szinte mindent elveszít. A medián pontos, mert a találatok mediánja pontosan 500.
A p becslés mindig becslés. Ha a valódi valószínűség kisebb, mint gondolod, a Kelly-tét túl nagy, és a növekedés gyorsan veszteségbe fordul. Erről szól a Flat vagy Kelly útmutató.
Kelly több fogadásra és szelvényre
- Kötésnél vagy rendszernél a p az egész szelvény valószínűsége, az odds pedig a szelvény oddsa, így a becslési hibák is összeszorzódnak.
- Ha egyszerre több fogadás fut, a Kelly-tétek összege túl nagy lehet. Ilyenkor az egyes téteket csökkenteni kell.
- Az oddsot úgy kell számolni, ahogy a fogadás megtételekor volt, a későbbi változások nélkül.
Korlátok
- A Kelly feltételezi, hogy a p ismert. A valódi valószínűség nem látható, a túlbecsült p pedig túl nagy tétet ad.
- A leggyorsabb hosszú távú növekedés nem jelent kis ingadozást: helyes p mellett is mély visszaeséseken megy át a teljes Kellyvel játszott bankroll.
- A példák kitalált becsléseket használnak, nyereményadó és téthatárok nélkül.
- Az 1000 fogadás utáni medián csak akkor érvényes, ha minden fogadásnál valóban p = 0,50 volt. Rövid sorozaton az eredmény bárhol lehet.
Kapcsolódó útmutatók
Források
- Kelly, J. L. (1956). A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal, 35(4), 917–926.
- Thorp, E. O. (2006). The Kelly criterion in blackjack, sports betting and the stock market. Handbook of Asset and Liability Management, Vol. 1, 385–428.