Matematika klađenja
Varijansa u klađenju: koliko slučaj odstupa od proseka
Varijansa meri koliko rezultat klađenja odstupa od očekivane vrednosti. Opklada po kvoti 2,00 sa procenom p = 0,525 ima EV od +5%, ali standardnu devijaciju od skoro jednog celog uloga. Zato je posle 100 takvih opklada rezultat u minusu u 27,38% slučajeva, a posle 1.000 u 5,32%. U 1.000 opklada niz od bar 8 gubitaka zaredom ima verovatnoću 74,54%, iako svaka opklada ima pozitivan EV.
Sadržaj
Pojmovi
- Varijansa
- Prosečan kvadrat odstupanja rezultata od očekivane vrednosti. Što je veća, rezultat više skače oko proseka.
- Standardna devijacija (σ, SD)
- Koren iz varijanse, u istim jedinicama kao ulog. Na dugom nizu opklada raste kao koren iz broja opklada.
- Niz gubitaka
- Uzastopni promašaji. Dešavaju se i kada svaka opklada ima pozitivnu očekivanu vrednost.
- ROI
- Povraćaj na uloženo: neto rezultat podeljen zbirom uloga.
Formula varijanse opklade
Opklada sa ulogom 1 donosi kvota − 1 sa verovatnoćom p, a −1 sa verovatnoćom 1 − p. Očekivana vrednost je p × kvota − 1, a standardna devijacija:
σ = kvota × √(p × (1 − p))Za niz od n nezavisnih opklada očekivani rezultat je n × EV, a standardna devijacija σ × √n. Očekivani rezultat raste sa n, a odstupanje samo sa √n, pa se prednost vidi tek na dugom nizu.
Kvota 2,00 i procena p = 0,525, pa je EV = +5% po opkladi. Standardna devijacija je 2,00 × √(0,525 × 0,475) = 0,9987, skoro ceo ulog.
| Opklada | Očekivano | SD | U minusu | Tačno na nuli |
|---|---|---|---|---|
| 100 | +5,00 | 9,99 | 27,38% | 7,02% |
| 500 | +25,00 | 22,33 | 12,22% | 1,91% |
| 1.000 | +50,00 | 31,58 | 5,32% | 0,72% |
Verovatnoće su izračunate tačno iz binomne raspodele. Posle 100 opklada sa pozitivnim EV-om rezultat je u minusu u više od jednog od četiri slučaja.
Kako varijansa zavisi od kvote?
Isti EV od +5% na različitim kvotama ne znači isti rizik. Na višoj kvoti opklada se ređe dobija, pa rezultat više skače.
| Kvota | Procena p | σ po opkladi | SD posle 100 | Minus posle 100 | Minus posle 1.000 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1,50 | 0,700 | 0,6874 | 6,87 | 22,07% | 1,09% |
| 2,00 | 0,525 | 0,9987 | 9,99 | 27,38% | 5,32% |
| 3,00 | 0,350 | 1,4309 | 14,31 | 38,03% | 13,68% |
| 5,00 | 0,210 | 2,0365 | 20,37 | 36,42% | 20,82% |
Posle 1.000 opklada po kvoti 5,00 rezultat je u minusu u svakom petom slučaju, a po kvoti 1,50 u svakom stotom. Na 100 opklada brojevi ne rastu glatko, jer se pogoci broje celim brojevima: po kvoti 5,00 plus traži bar 21 pogodak, a po kvoti 3,00 bar 34.
Koliko su česti nizovi gubitaka?
Kod kvote 2,00 i p = 0,525 opklada pada u 47,5% slučajeva. Verovatnoća da se u nizu opklada bar jednom pojavi toliko gubitaka zaredom:
| Gubitaka zaredom (bar) | U 100 opklada | U 1.000 opklada |
|---|---|---|
| 6 | 45,21% | 99,81% |
| 7 | 24,24% | 94,57% |
| 8 | 12,12% | 74,54% |
| 10 | 2,79% | 26,32% |
| 12 | 0,62% | 6,63% |
| 15 | 0,06% | 0,73% |
U 1.000 opklada sa pozitivnim EV-om niz od 8 gubitaka zaredom je verovatniji nego ne. Niz gubitaka zato sam po sebi ne dokazuje da su procene loše, kao što ni niz dobitaka ne dokazuje da su dobre.
Šta varijansa znači za ulog?
Ulog od 2% trenutnog bankrolla, a zatim 10 gubitaka zaredom: ostaje 0,98^10 = 81,71% bankrolla, odnosno pad od 18,29%. Sa ulogom od 5% posle istog niza ostaje 59,87%.
- Što je ulog veći deo bankrolla, isti niz gubitaka ostavlja dublji pad. Kako veličina uloga menja rizik, porede vodiči Kelly kriterijum i Flat ili Kelly.
- Progresija posle gubitaka, kao u vodiču Martingale sistem, ne smanjuje varijansu nego je pomera u retke, velike gubitke.
- Koliko opklada treba da bi se prednost razlikovala od slučaja, računa vodič Veličina uzorka.
Ograničenja
- Primeri pretpostavljaju da je procena p tačna i da su opklade nezavisne. Opklade na isti meč ili isti dan često nisu nezavisne, pa je stvarna varijansa veća.
- Standardna devijacija opisuje prosečno odstupanje. Pojedinačan niz može otići mnogo dalje od jedne ili dve SD.
- Brojevi ne uzimaju u obzir porez na dobitak, maržu u kvotama koje se stvarno dobiju ni promenu uloga tokom niza.
- Kratak niz dobitaka ili gubitaka ne govori mnogo o kvalitetu procena.